Klaassen werd op 21 februari 1993 geboren in Hilversum. Hij doorliep in Amsterdam de jeugdopleiding en debuteerde op 22 november 2011 in de UEFA Champions League-wedstrijd Olympique Lyon – Ajax (0-0). Na het seizoen 2016/2017 vertrok hij naar het Engelse Everton. Tussen 2018 en 2020 speelde de middenvelder vervolgens voor Werder Bremen en keerde daarna terug bij Ajax. In de zomer van 2023 vertrok hij naar Italië, waar de 32-jarige voetballer
met Internazionale kampioen werd van de Serie A. Begin vorig seizoen kwam hij wederom terug en sloot aan bij de selectie van het eerste elftal.
Klaassen kwam inmiddels in 356 officiële wedstrijden uit voor de hoofdmacht van Ajax en was daarin goed voor 101 treffers en 52 assists. Hij werd met Ajax vijfmaal landskampioen (2012, 2013, 2014, 2021 en 2022). Daarnaast won hij in 2013 de Johan Cruijff Schaal en in 2021 de KNVB Beker. In 2016 werd de voormalig international verkozen tot Voetballer van het Jaar.
Technisch directeur Alex Kroes: "Het is zeer fijn dat wij Davy langer bij de club kunnen houden. Hij is topfit en met zijn enorme drive kan hij de ploeg op sleeptouw op de momenten dat er net even wat meer gevraagd wordt. Hij heeft een neusje voor de goal en is een sprekend voorbeeld van een echte Ajax-speler met 'gogme'. Kortom, met al zijn ervaring is hij een zeer belangrijke schakel binnen deze selectie, ook buiten de lijnen."